Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

Etapa 1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{3}$ para o numerador.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $2$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ .

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ .

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ como ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

Etapa 6.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Etapa 6.3.2.1.3

Simplifique.

$- 4 + K = 1^{3}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 + K = 1$

Etapa 6.4

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$K = 1 + 4$

Etapa 6.4.2

Some $1$ e $4$ .

$K = 5$

Etapa 7

Substitua $5$ por $K$ em $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $5$ por $K$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$