Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \sqrt{2 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $5$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Etapa 7.2

Combine.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Etapa 7.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Etapa 7.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Etapa 7.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 \cdot (5^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 7.4.3

Multiplique $5^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 7.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$3.39344662 \dots$

Etapa 9