Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.6

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0^{2}}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sqrt{1 + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.5.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 1.3.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Etapa 1.3.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Etapa 1.3.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Etapa 1.3.5.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Etapa 1.3.5.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Etapa 1.3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))}$

Etapa 1.3.5.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))}$

Etapa 1.3.5.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Etapa 1.3.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Etapa 1.3.5.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Etapa 1.3.5.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))}$

Etapa 1.3.5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))}$

Etapa 1.3.5.12

Some $0$ e $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

Etapa 1.3.5.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

Etapa 1.3.5.14

Combine $2$ e $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

Etapa 1.3.5.15

Combine $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

Etapa 1.3.5.16

Mova ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.5.17

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.5.18

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.6

Subtraia $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x})$

Etapa 1.5

Reescreva ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Etapa 1.6.2

Combine $- 2$ e $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Etapa 1.6.3

Combine $x$ e $\frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Etapa 1.7.2

Divida $- 2 \sqrt{1 + x^{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{1 + x^{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- 2 \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0^{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0}$

Etapa 4.2

Some $1$ e $0$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Etapa 4.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$