Cálculo Exemplos

$y = \ln (\sec (x))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1.1

Reordene $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Etapa 3.6.1.2

Reescreva $\cos (x) \sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Etapa 3.6.1.3

Cancele os fatores comuns.

$1 \tan (x)$

Etapa 3.6.2

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x)$

Etapa 3.6.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.6.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \tan (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$