Cálculo Exemplos

$\sqrt{x^{3} + y^{3}} = 2 y$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3} + y^{3}}$ como ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{3} + y^{3}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.6.2.2

Mova ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$ .

$(3 x^{2} + 3 y^{2} y') \frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ por $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.3

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ .

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Etapa 3.9.3.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.3.2

Fatore $3$ de $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.3.3

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y'$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 2 y'$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por $2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (x^{2} + y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 (y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.1.1.5.1

Mova $y^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 y' y^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Reordene $3 x^{2}$ e $3 y' y^{2}$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 \cdot 2 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.3.1

Subtraia $4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 6.3.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Etapa 6.3.3

Fatore $y'$ de $3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $y'$ de $3 y' y^{2}$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Etapa 6.3.3.2

Fatore $y'$ de $- 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Etapa 6.3.3.3

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Etapa 6.3.4

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 6.3.4.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.4.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$