Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}$ como ${(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$ como ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4} \cdot - 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1}{4}}]$

Etapa 4.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{4}}$ e $g (x) = 9 x^{2} - 5$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x^{2} - 5$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.7.2

Combine ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 4.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 4.11

Multiplique $2$ por $9$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 4.12

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + 0)$

Etapa 4.13

Simplifique os termos.

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Etapa 4.13.1

Some $18 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x)$

Etapa 4.13.2

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$- 18 \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

Etapa 4.13.3

Combine $- 18$ e $\frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

Etapa 4.13.4

Combine $\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ e $x$ .

$\frac{- 18 x}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 4.13.5

Fatore $2$ de $- 18 x$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Fatore $2$ de $4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 4.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$