Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 2$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.3

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.4

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.3.5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.1.3.5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 3.2.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $4$ e $2$ .

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{6}{4 - 1}$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{6}{3}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $6$ por $3$ .

$2$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{- 2 - 1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$\frac{3}{- 3}$

Etapa 4.2.2.3

Divida $3$ por $- 3$ .

$- 1$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 4.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

Etapa 4.3.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(2, 2), (- 1, - 1)$

Etapa 5