Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$ como ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (2 x) - \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 7.2.2

Mova ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (2 x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 8.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 9.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 9.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 10

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$

Etapa 11

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$ .

$(- 2 \sin (2 x) - \cos (x)) \frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$