Cálculo Exemplos

$y = - \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- \frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $- 10$ e $5$ .

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Etapa 1.2.7.1

Fatore $5$ de $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.2.7.2.4

Divida $- 2 x^{4}$ por $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{4} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 x^{4} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.3.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{4} - x + 2 (\frac{1}{2}) x^{- 3}$

Etapa 1.4.4

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2} x^{- 3}$

Etapa 1.4.5

Combine $\frac{2}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2 x^{- 3}}{2}$

Etapa 1.4.6

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Etapa 1.4.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.7.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Etapa 1.4.7.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = - 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Etapa 2.4.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{- 6} (3 x^{2})$

Etapa 2.4.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 6} x^{2}$

Etapa 2.4.6

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.6.1

Mova $x^{2}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Etapa 2.4.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{2 - 6}$

Etapa 2.4.6.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 4}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{- 3}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 8 x^{3} - 1 - \frac{3}{x^{4}}$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 8 x^{3} - \frac{3}{x^{4}} - 1$