Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Etapa 2

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Etapa 2.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Etapa 2.5

Subtraia $3$ de $4$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $1$ e em $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

Etapa 5.2

Avalie $3 x$ em $4$ e em $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.4

Multiplique $- 27$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.5

Combine $27$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 5.3.6.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.6.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.7

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.8

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.10.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.10.2

Some $1$ e $27$ .

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.11

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Etapa 5.3.12

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

Etapa 5.3.13

Some $12$ e $0$ .

$\frac{28}{3} + 12$

Etapa 5.3.14

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.3.15

Combine $12$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Etapa 5.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

Etapa 5.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.17.1

Multiplique $12$ por $3$ .

$\frac{28 + 36}{3}$

Etapa 5.3.17.2

Some $28$ e $36$ .

$\frac{64}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{64}{3}$

Forma decimal:

$21.\overline{3}$

Forma de número misto:

$21 \frac{1}{3}$

Etapa 7