Cálculo Exemplos

$y = (x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x^{2} + x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x^{2} + x + 1$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + 0)$

Etapa 2.9

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

Etapa 3.4.8

Some $- 2 x$ e $x$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1$

Etapa 3.4.9

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x + 1 - x - 1$

Etapa 3.4.10

Subtraia $x$ de $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 1 - 1$

Etapa 3.4.11

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 1 - 1$

Etapa 3.4.12

Subtraia $1$ de $1$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 3.4.13

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$