Cálculo Exemplos

$e^{2 x} - 3 e^{- x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} - 3 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 2.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 e^{- x}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{2 x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$2 e^{2 x} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 3 (- e^{- x})$

Etapa 3.8

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$2 e^{2 x} + 3 e^{- x}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$3 e^{- x} + 2 e^{2 x}$