Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 9 - lim_{x \to - 3} x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to - 3} x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{9 - {(- 3)}^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x^{3} + lim_{x \to - 3} 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + lim_{x \to - 3} 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 3 lim_{x \to - 3} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{- 27 + 3 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{0}{- 27 + 27}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $- 27$ e $27$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 3 (2 x)}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 6 x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to - 3} \frac{x}{3 x^{2} + 6 x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + 6 x}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Etapa 2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Etapa 2.6

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3}$

Etapa 4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.1

Fatore $- 3$ de $3 {(- 3)}^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2}) + 6 \cdot - 3}$

Etapa 4.1.2.2

Fatore $- 3$ de $6 \cdot - 3$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2}) - 3 (- 2 \cdot - 3)}$

Etapa 4.1.2.3

Fatore $- 3$ de $- 3 (- {(- 3)}^{2}) - 3 (- 2 \cdot - 3)$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3)}$

Etapa 4.1.2.4

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 (- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3)}$

Etapa 4.1.2.5

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{1}{- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 2 \frac{1}{- 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 2 \frac{1}{- 9 - 2 \cdot - 3}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$- 2 \frac{1}{- 9 + 6}$

Etapa 4.2.4

Some $- 9$ e $6$ .

$- 2 (\frac{1}{- 3})$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (- \frac{1}{3})$

Etapa 4.4

Multiplique $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 (\frac{1}{3})$

Etapa 4.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$