Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Etapa 1.4.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

Etapa 1.4.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Etapa 1.4.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.4.5.1

Cancele o fator comum.

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Etapa 1.4.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{3} + 0 + x^{2}$

Etapa 1.5

Some $x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$