Cálculo Exemplos

$y = \ln (t \cdot 5^{t})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t \cdot 5^{t}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $5$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

Etapa 4.2

Multiplique $5^{t}$ por $1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $t$ e $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2.2

Combine $5^{t}$ e $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2.3

Combine $\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ e $\ln (5)$ .

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $5^{t}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2.5.2

Divida $\ln (5)$ por $1$ .

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Etapa 5.2.6

Combine $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ e $5^{t}$ .

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $5^{t}$ .

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Etapa 5.2.7.1

Cancele o fator comum.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Etapa 5.2.7.2

Reescreva a expressão.

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{t} + \ln (5)$