Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{2} + x}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + x}$ como ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

Etapa 4.6.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 4.6.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra do produto a $x (x + 1)$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique $- 2 x - 1$ por $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.11

Reescreva $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$