Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{2 e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{2 x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.5

Some $4 e^{2 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{2 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Etapa 2.3

Mova o limite para o expoente.

$4 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$4 \frac{e^{0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$4 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$