Cálculo Exemplos

$y = x^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0$

Etapa 9.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 32$ .

$- 32$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8$

Etapa 10.3.2.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $32$ .

$32$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11