Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$ como $e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})$ movendo $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$e^{\frac{0 - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 10

Avalie o limite.

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 10.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + x}{2 + x})}$

Etapa 11

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Etapa 12

Avalie o limite.

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Etapa 12.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Etapa 12.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + 1})}$

Etapa 12.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Etapa 12.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Etapa 13

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Etapa 14

Avalie o limite.

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Etapa 14.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Etapa 14.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Etapa 15

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1})}$

Etapa 16

Avalie o limite.

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Etapa 16.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0^{2}}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$e^{\frac{0 - 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{0 + 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2.1.4

Some $0$ e $0$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e^{\frac{0}{- 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2.3

Divida $0$ por $- 1$ .

$e^{0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Etapa 16.2.4

Simplifique $0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})$ movendo $0$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0})}$

Etapa 16.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Etapa 16.2.6

Some $0$ e $1$ .

${(\frac{1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Etapa 16.2.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.2.7.1

Multiplique $2$ por $0$ .

${(\frac{1}{0 + 1})}^{0}$

Etapa 16.2.7.2

Some $0$ e $1$ .

${(\frac{1}{1})}^{0}$

Etapa 16.2.8

Divida $1$ por $1$ .

$1^{0}$

Etapa 16.2.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$