Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

Etapa 3

Mova $x^{- 3}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int x^{3} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{3} d x + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

Etapa 6

Como $5 y$ é constante com relação a $x$ , mova $5 y$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y \int x d x + \int - \sqrt{x} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \sqrt{x} d x$

Etapa 9

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 11.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$