Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Some $2$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{2 + x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + x}$ como ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 + x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 + x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.11

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3.14

Mova ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.5

Some $\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 5

Reescreva ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2 + x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

Etapa 6.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

Etapa 6.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x}}$

Etapa 6.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 6.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 2}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.1

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 8.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4}$