Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 4.2

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ em $\csc^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \csc^{2} (x) d x$

Etapa 6

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int - \csc^{2} (x) d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\tan (x) + C - \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 8

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$\tan (x) + C - (- \cot (x) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\tan (x) + \cot (x) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \cot (x) + C$