Cálculo Exemplos

$x \cdot e^{3 x}$

Etapa 1

Escreva $x \cdot e^{3 x}$ como uma função.

$f (x) = x \cdot e^{3 x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot e^{3 x} d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 5.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Etapa 7

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 8

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Etapa 12

Reescreva $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \cdot e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$