Cálculo Exemplos

$f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \sin (\frac{x}{3})$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{1}{3}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.7

Combine $\cos (\frac{x}{3})$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.8

Combine $- 5$ e $\frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ e $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- \frac{5}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (\frac{x}{3})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\sin (\frac{x}{3})$ e $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{3}) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Etapa 2.3.2.3

Mova $5$ para a esquerda de $\sin (\frac{x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Combine frações.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $\cos (\frac{x}{3})$ por $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{3} = \arccos (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Etapa 5.4

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Etapa 5.5

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.7

Resolva $x$ .

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Etapa 5.7.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.2.2.1

Simplifique $3 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 5.7.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.2.1.2

Combine frações.

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Etapa 5.7.2.2.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.2.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 3 \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4

Multiplique $3 \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 5.7.2.2.1.4.1

Combine $3$ e $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Etapa 5.8

A solução para a equação $\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2}$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Etapa 7.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{5 \cdot 1}{9}$

Etapa 7.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5}{9}$

Etapa 8

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 π}{2})) - 15$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}) - 15$

Etapa 9.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}) - 15$

Etapa 9.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{π}{2}) - 15$

Etapa 9.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \cdot 1 - 15$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 - 15$

Etapa 9.2.2

Subtraia $15$ de $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 20$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 20$ .

$y = - 20$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{9 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 11.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.1.2.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 11.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 11.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Etapa 11.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Etapa 11.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1)}{9}$

Etapa 11.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{9}$

Etapa 11.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{- 5}{9}$

Etapa 11.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{9}$

Etapa 12

$x = \frac{9 π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{9 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{9 π}{2}$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{9 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{9 π}{2})) - 15$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.1.1.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Etapa 13.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Etapa 13.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 15$

Etapa 13.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 15$

Etapa 13.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- 1 \cdot 1) - 15$

Etapa 13.2.1.4

Multiplique $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 13.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \cdot - 1 - 15$

Etapa 13.2.1.4.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 5 - 15$

Etapa 13.2.2

Subtraia $15$ de $5$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 10$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $- 10$ .

$y = - 10$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 20)$ é um mínimo local

$(\frac{9 π}{2}, - 10)$ é um máximo local

Etapa 15