Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = t + 1$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = t + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = t + 1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = t + 1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

Etapa 1.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.8

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.10

Some $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ e $2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

Etapa 3.11

Some $2 u^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Etapa 6

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $x^{2} + 2$ e em $2$ .

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.1.4

Some $2$ e $3$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Etapa 7.2.3

Combine $2$ e $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ .

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Etapa 9.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Etapa 9.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Etapa 9.2.3

Combine $\frac{4}{3}$ e ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Etapa 9.3

Multiplique $\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $2^{\frac{5}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{5}{2}}$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Etapa 9.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

Etapa 9.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

Etapa 9.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

Etapa 9.3.2.4

Some $2$ e $5$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$