Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

Etapa 3

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ em $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ .

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

Etapa 4

Deixe $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $4 x - \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - \frac{π}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- \frac{π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

Etapa 5

Combine $\csc^{2} (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

Etapa 7

Como a derivada de $- \cot (u)$ é $\csc^{2} (u)$ , a integral de $\csc^{2} (u)$ é $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - \frac{π}{3}$ .

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$