Cálculo Exemplos

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Como $14$ é constante com relação a $x$ , mova $14$ para fora da integral.

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 9 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 9 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 9 - 2 x$ .

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$u_{lower} = 9 + 16$

Etapa 2.3.2

Some $9$ e $16$ .

$u_{lower} = 25$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 9 - 2 x$ .

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$u_{upper} = 9 - 8$

Etapa 2.5.2

Subtraia $8$ de $9$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $14$ .

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 14$ .

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $- 14$ e $2$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $2$ de $- 14$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 7.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 7.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 7.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 7.1.2.2.4

Divida $- 7$ por $1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $u^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 7.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 7.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Etapa 7.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Etapa 7.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ em $1$ e em $25$ .

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 9.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 9.2.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 9.2.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Etapa 9.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.6.1

Cancele o fator comum.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Etapa 9.2.6.2

Reescreva a expressão.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

Etapa 9.2.7

Avalie o expoente.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

Etapa 9.2.8

Combine $2$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

Etapa 9.2.9

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

Etapa 9.2.10

Combine $- 2$ e $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

Etapa 9.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

Etapa 9.2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.12.1

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

Etapa 9.2.12.2

Some $- 10$ e $2$ .

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

Etapa 9.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 7 (- \frac{8}{5})$

Etapa 9.2.14

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$7 (\frac{8}{5})$

Etapa 9.2.15

Combine $7$ e $\frac{8}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

Etapa 9.2.16

Multiplique $7$ por $8$ .

$\frac{56}{5}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{56}{5}$

Forma decimal:

$11.2$

Forma de número misto:

$11 \frac{1}{5}$

Etapa 11