Cálculo Exemplos

$x^{2} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Etapa 1.3.4

Reordene os termos.

$2 x \ln (x) + x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \ln (x) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Etapa 2.4.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x \ln (x) + x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Etapa 4.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x \ln (x) = - x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Etapa 5.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 6.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova $e^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

Etapa 9.1.2

Expanda $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ movendo $- \frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

Etapa 9.1.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- 1 + 3$

Etapa 9.2

Some $- 1$ e $3$ .

$2$

Etapa 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.2.3

Mova $e^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 11.2.4

Expanda $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ movendo $- \frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Etapa 11.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 11.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.7

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

Etapa 11.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

Etapa 11.2.9

A resposta final é $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ é um mínimo local

Etapa 13