Cálculo Exemplos

$\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{3}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{20} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{3}{20}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Combine $\frac{15}{20}$ e $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.6

Cancele o fator comum de $15$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Fatore $5$ de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $\frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.5

Combine $\frac{12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.6.1

Fatore $4$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.6.2.4

Divida $3 x^{3}$ por $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 24 (2 x)$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 48 x = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $3 x$ de $- 24 x^{2}$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x) + 48 x = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $3 x$ de $48 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x) + 3 x (16) = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x)$ .

$3 x (x^{2} - 8 x) + 3 x (16) = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2} - 8 x) + 3 x (16)$ .

$3 x (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$3 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$3 x {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.5

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2.5.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = 3 \cdot - 8 - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 24 \cdot 4 + 48 (- 2)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 96 + 48 (- 2)$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $48$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 96 - 96$

Etapa 5.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $96$ de $- 24$ .

$f'' (- 2) = - 120 - 96$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $96$ de $- 120$ .

$f'' (- 2) = - 216$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 216$ .

$- 216$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 3 {(2)}^{3} - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = 3 \cdot 8 - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (2) = 24 - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = 24 - 24 \cdot 4 + 48 (2)$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f'' (2) = 24 - 96 + 48 (2)$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $48$ por $2$ .

$f'' (2) = 24 - 96 + 96$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $96$ de $24$ .

$f'' (2) = - 72 + 96$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 72$ e $96$ .

$f'' (2) = 24$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, 4)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = 3 {(6)}^{3} - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = 3 \cdot 216 - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $216$ .

$f'' (6) = 648 - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = 648 - 24 \cdot 36 + 48 (6)$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $36$ .

$f'' (6) = 648 - 864 + 48 (6)$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $48$ por $6$ .

$f'' (6) = 648 - 864 + 288$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $864$ de $648$ .

$f'' (6) = - 216 + 288$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 216$ e $288$ .

$f'' (6) = 72$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $72$ .

$72$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9