Cálculo Exemplos

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Fatore $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{3} - 18 x$ .

$2 x^{3} - 18 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{3} - 18 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} - 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $2 x$ de $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 3.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 3.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, 3$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $- 3$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Combine $\frac{1}{10}$ e $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Some $1$ e $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

Etapa 4.3.2.2

Para escrever $81$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

Etapa 4.3.2.3

Combine $81$ e $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

Etapa 4.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Multiplique $81$ por $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

Etapa 4.3.2.5.2

Some $- 243$ e $810$ .

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é $\frac{567}{10}$ .

$\frac{567}{10}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 3$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ é $(- 3, \frac{567}{10})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 3, \frac{567}{10})$

Etapa 4.5

Substitua $3$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.2

Combine $\frac{1}{10}$ e $243$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $27$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

Etapa 4.5.2.2

Para escrever $- 81$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

Etapa 4.5.2.3

Combine $- 81$ e $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

Etapa 4.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

Etapa 4.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.5.1

Multiplique $- 81$ por $10$ .

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

Etapa 4.5.2.5.2

Subtraia $810$ de $243$ .

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

Etapa 4.5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

Etapa 4.5.2.7

A resposta final é $- \frac{567}{10}$ .

$- \frac{567}{10}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $3$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ é $(3, - \frac{567}{10})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(3, - \frac{567}{10})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.1$ na expressão.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

Etapa 6.2.2

Some $- 59.582$ e $55.8$ .

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3.782$ .

$- 3.782$

Etapa 6.3

Em $- 3.1$ , a segunda derivada é $- 3.782$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.5.2

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

Etapa 7.2.1.7.2

Fatore $2$ de $- 18$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

Etapa 7.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

Etapa 7.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

Etapa 7.2.1.8

Multiplique $- 9$ por $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

Etapa 7.2.2

Para escrever $27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.3

Combine $27$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Multiplique $27$ por $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

Etapa 7.2.5.2

Some $- 27$ e $108$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Etapa 7.3

Em $- \frac{3}{2}$ , a segunda derivada é $20.25$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 3, 0)$ .

Acréscimo em $(- 3, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.5.1

Fatore $2$ de $- 18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

Etapa 8.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

Etapa 8.2.1.6

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

Etapa 8.2.2

Para escrever $- 27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 8.2.3

Combine $- 27$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

Etapa 8.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.5.1

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

Etapa 8.2.5.2

Subtraia $108$ de $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

Etapa 8.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

Etapa 8.2.7

A resposta final é $- \frac{81}{4}$ .

$- \frac{81}{4}$

Etapa 8.3

Em $\frac{3}{2}$ , a segunda derivada é $- 20.25$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 3)$ .

Decréscimo em $(0, 3)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $3.1$ na expressão.

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $3.1$ à potência de $3$ .

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $2$ por $29.791$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $3.1$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

Etapa 9.2.2

Subtraia $55.8$ de $59.582$ .

$f'' (3.1) = 3.782$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $3.782$ .

$3.782$

Etapa 9.3

Em $3.1$ , a segunda derivada é $3.782$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ .

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

Etapa 11