Cálculo Exemplos

$y \cdot 2^{y} = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = 2^{y}$ .

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reordene os termos.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores em $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ .

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

Etapa 5.1.2

Reordene os fatores em $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ .

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Etapa 5.2

Fatore $y' \cdot 2^{y}$ de $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $y' \cdot 2^{y}$ de $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $y' \cdot 2^{y}$ de $y' \cdot 2^{y}$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $y' \cdot 2^{y}$ de $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

Etapa 5.3

Multiplique $y$ por $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

Etapa 5.4

Multiplique $y$ por $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ por $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ por $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ .

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y \ln (2) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$