Cálculo Exemplos

$y = x + 4 \sqrt{x + 2}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4 \sqrt{x + 2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Etapa 2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Etapa 2.12

Some $1$ e $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Etapa 2.14

Multiplique $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$1 + 4 \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.15

Mova ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 4 \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.16

Combine $4$ e $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.17

Fatore $2$ de $4$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.18.1

Fatore $2$ de $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.18.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.18.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{2}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$