Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 5}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} + 5}$ como ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 4.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

Etapa 4.10

Combine frações.

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Etapa 4.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

Etapa 4.10.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

Etapa 4.10.3

Combine $\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$