Cálculo Exemplos

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Etapa 2.6.2

Combine $- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Etapa 2.6.3

Combine $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Etapa 2.6.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.6.4.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Etapa 2.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Etapa 2.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Etapa 2.6.4.2.4

Divida $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Etapa 2.6.5

Reordene os fatores em $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$