Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} \cdot \frac{6 x}{e^{x}}$

Etapa 1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{e^{x}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$6 \frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 5

Combine $6$ e $\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{6 (e^{x} - x e^{x})}{e^{2 x}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 e^{x} + 6 (- x e^{x})}{e^{2 x}}$

Etapa 6.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{6 e^{x} - 6 x e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{- 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 6.4

Fatore $6 e^{x}$ de $- 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $6 e^{x}$ de $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 6.4.2

Fatore $6 e^{x}$ de $6 e^{x}$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)}{e^{2 x}}$

Etapa 6.4.3

Fatore $6 e^{x}$ de $6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)$ .

$\frac{6 e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $e^{2 x}$ de $6 e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Etapa 6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Etapa 6.5.2.4

Divida $6 e^{- x} (- x + 1)$ por $1$ .

$6 e^{- x} (- x + 1)$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$6 e^{- x} (- x) + 6 e^{- x} \cdot 1$

Etapa 6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x} \cdot 1$

Etapa 6.8

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Etapa 6.9

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Etapa 6.10

Reordene os fatores em $- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$ .

$- 6 x e^{- x} + 6 e^{- x}$