Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

Etapa 1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Etapa 5

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Combine $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ e $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 6.2

Avalie $- x - \cot (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{6}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Etapa 6.3.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{6})$ é $\sqrt{3}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Etapa 6.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Etapa 6.3.4

Some $- \frac{π}{2}$ e $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Etapa 6.3.5

Para escrever $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 6.3.6

Combine $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ e $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Etapa 6.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Etapa 6.3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.3.9

Combine $7$ e $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.3.10

Fatore $- 1$ de $- π$ .

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.3.11

Fatore $- 1$ de $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ .

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Etapa 6.3.12

Fatore $- 1$ de $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Etapa 6.3.13

Reescreva $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ como $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Etapa 6.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.4.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.4.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.4.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 6.4.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.5

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.6

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.8

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.9

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.10

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.11

Multiplique $7 \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 6.4.11.1

Combine $7$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.11.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.12

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.13

Cancele o fator comum de $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ e $2$ .

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Etapa 6.4.13.1

Fatore $2$ de $\frac{14 π}{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.13.2

Fatore $2$ de $- 14 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.13.3

Fatore $2$ de $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 6.4.13.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.13.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Etapa 6.4.13.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.13.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

Etapa 6.4.13.4.4

Divida $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ por $1$ .

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

Etapa 6.4.14

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

Etapa 6.4.15

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$4.79397279 \dots$