Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 2}{x + 1} d x$

Etapa 1

Divida $x^{2} - 2$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$
							-	$1$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{0}^{2} x - 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 6.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Etapa 6.5

Some $2$ e $1$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$ e $- x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} - x$ em $2$ e em $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Etapa 9.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 9.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.7

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 - (0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 - (0 + 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.9

Some $0$ e $0$ .

$0 - 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.11

Some $0$ e $0$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.12

Subtraia $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ de $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Etapa 11.3

Divida $3$ por $1$ .

$- \ln (3)$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \ln (3)$

Forma decimal:

$- 1.09861228 \dots$

Etapa 13