Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{7 - 7 \cos (x)}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - 7 \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - lim_{x \to 0} 7 \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7 - lim_{x \to 0} 7 \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7 - 7 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{7 - 7 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7 - 7 \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{7 - 7 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $7$ de $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{7 - 7 \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - 7 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 7 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 7 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $7 \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (x)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $7 \sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 7 \sin (x)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$7 lim_{x \to 0} \sin (x)$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$7 \sin (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$7 \sin (0)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$7 \cdot 0$

Etapa 4.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$0$