Cálculo Exemplos

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Depois, $d u_{2} = - e^{- x} d x$ , então, $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 4.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 4.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$0 - e^{- x}$

Etapa 4.1.4

Subtraia $e^{- x}$ de $0$ .

$- e^{- x}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$