Cálculo Exemplos

$\arctan (\sqrt{x - 6})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 6}$ como ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + {(x - 6)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Simplifique.

$\frac{1}{1 + x - 6} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Subtraia $6$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 5} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 6$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 6$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 11.3

Mova ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 5} (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 11.4

Multiplique $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - 5}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 14

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} (1 + 0)$

Etapa 15

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)} \cdot 1$

Etapa 15.2

Multiplique $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)}$