Cálculo Exemplos

$y = e^{x^{3} + 8 x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3} + 8 x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 8 x^{2}$ .

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}])$

Etapa 2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + 8 (2 x))$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $8$ .

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + 16 x)$