Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\sin (2 x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin (2 x)} d x$

Etapa 4

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$\int \csc (2 x) d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Combine $\csc (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\csc (u)}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \csc (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\csc (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \csc (u) - \cot (u) |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (2 x) - \cot (2 x) |) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| \csc (2 x) - \cot (2 x) |) + C$