Cálculo Exemplos

$y = 4 - 6 x + x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 6 x + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 6 + 3 x^{2}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6 + 3 x^{2}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$3 x^{2} - 6$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 6 x + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 6 + 3 x^{2}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6 + 3 x^{2}$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 6$ .

$3 x^{2} - 6$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 6$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 6$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 6$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $6$ por $3$ .

$x^{2} = 2$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\sqrt{2})$

Etapa 9

Multiplique $6$ por $\sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2}$

Etapa 10

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{3}}$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{8}$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 11.2.1.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{4 (2)}$

Etapa 11.2.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 11.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 11.2.2

Some $- 6 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $4 - 4 \sqrt{2}$ .

$y = 4 - 4 \sqrt{2}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \sqrt{2})$

Etapa 13

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \sqrt{2}$

Etapa 14

$x = - \sqrt{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 6 (- \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}$

Etapa 15.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{3}$

Etapa 15.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{3}}$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{8}$

Etapa 15.2.1.6

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}$

Etapa 15.2.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 15.2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2})$

Etapa 15.2.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Etapa 15.2.2

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 4 \sqrt{2}$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $4 + 4 \sqrt{2}$ .

$y = 4 + 4 \sqrt{2}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 - 6 x + x^{3}$ .

$(\sqrt{2}, 4 - 4 \sqrt{2})$ é um mínimo local

$(- \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ é um máximo local

Etapa 17