Cálculo Exemplos

$x y^{2} - \sin (x + y) + y$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} - \sin (x + y) + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Etapa 2.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x + y)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x + y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

$y^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$y^{2} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$y^{2} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.5

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.6

Some $1$ e $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.7

Multiplique $\cos (x + y)$ por $1$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + 0$

Etapa 4.2

Some $y^{2} - \cos (x + y)$ e $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y)$