Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sqrt{4 + 6 x^{3}}}{\cos^{3} (x)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 + 6 x^{3}}$ como ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ em $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sec^{3} (x)$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (x)$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (x)$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.8

Some $1$ e $2$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 + 6 x^{3}$ .

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Etapa 4.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 + 6 x^{3}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 + 6 x^{3}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.14

Combine frações.

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Etapa 4.14.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.14.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.14.3

Mova ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

Etapa 4.14.4

Combine $\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sec^{3} (x)$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}]$

Etapa 4.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 6 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

Etapa 4.16

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

Etapa 4.17

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$

Etapa 4.18

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.19

Simplifique os termos.

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Etapa 4.19.1

Combine $6$ e $\frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{6 \sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.19.2

Fatore $2$ de $6 \sec^{3} (x)$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.20.1

Fatore $2$ de $2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 ({(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.20.2

Cancele o fator comum.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.20.3

Reescreva a expressão.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Etapa 4.22

Combine frações.

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Etapa 4.22.1

Combine $3$ e $\frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 (3 \sec^{3} (x))}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Etapa 4.22.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Etapa 4.22.3

Combine $\frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.23

Simplifique.

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Etapa 4.23.1

Reordene os termos.

$\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$

Etapa 4.23.2

Reordene os fatores em $\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$ .

$\frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$