Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{2}{3}}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.7

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.8

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.9

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x'$

Etapa 3.10

Combine $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ e $x'$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Simplifique $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 5.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$2 x' = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $3 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ por $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$