Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{3}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 15}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{4}$ por $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{4}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 35$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 35 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ e $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{3}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $36$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 105$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 105 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 105 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 (2 x)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 105$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 210 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- \frac{3}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.6

Combine $\frac{- 15}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{4}$ por $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{4}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 35$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 35 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $3$ por $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $- 3 x^{2}$ de $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 3 x^{2}$ de $- 3 x^{4}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $- 3 x^{2}$ de $36 x^{3}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 105 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $- 3 x^{2}$ de $- 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $- 3 x^{2}$ de $- 3 x^{2} (x^{2}) - 3 x^{2} (- 12 x)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $- 3 x^{2}$ de $- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} (35)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 12 x + 35$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 7, - 5$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 x^{2} ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 5.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7, 5$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 7, 5$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(0)}^{3} + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 108 \cdot 0 - 210 \cdot 0$

Etapa 9.1.4

Multiplique $108$ por $0$ .

$0 + 0 - 210 \cdot 0$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 210$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{4} + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 \cdot - 8 - 105 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $36$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 \cdot 4$

Etapa 10.2.2.1.6

Multiplique $- 105$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 420$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Subtraia $288$ de $- 48$ .

$f' (- 2) = - 336 - 420$

Etapa 10.2.2.2.2

Subtraia $420$ de $- 336$ .

$f' (- 2) = - 756$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 756$ .

$- 756$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, 5)$ na primeira derivada $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{4} + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$f' (2) = - 48 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = - 48 + 36 \cdot 8 - 105 {(2)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $36$ por $8$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 {(2)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 \cdot 4$

Etapa 10.3.2.1.6

Multiplique $- 105$ por $4$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 420$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Some $- 48$ e $288$ .

$f' (2) = 240 - 420$

Etapa 10.3.2.2.2

Subtraia $420$ de $240$ .

$f' (2) = - 180$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 180$ .

$- 180$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(5, 7)$ na primeira derivada $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - 3 {(6)}^{4} + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f' (6) = - 3 \cdot 1296 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1296$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 \cdot 216 - 105 {(6)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $36$ por $216$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 {(6)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.5

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 \cdot 36$

Etapa 10.4.2.1.6

Multiplique $- 105$ por $36$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 3780$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Some $- 3888$ e $7776$ .

$f' (6) = 3888 - 3780$

Etapa 10.4.2.2.2

Subtraia $3780$ de $3888$ .

$f' (6) = 108$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $108$ .

$108$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $10$ , do intervalo $(7, \infty)$ na primeira derivada $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f' (10) = - 3 {(10)}^{4} + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$f' (10) = - 3 \cdot 10000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $10000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 \cdot 1000 - 105 {(10)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $36$ por $1000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 {(10)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.5

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 \cdot 100$

Etapa 10.5.2.1.6

Multiplique $- 105$ por $100$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 10500$

Etapa 10.5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Some $- 30000$ e $36000$ .

$f' (10) = 6000 - 10500$

Etapa 10.5.2.2.2

Subtraia $10500$ de $6000$ .

$f' (10) = - 4500$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $- 4500$ .

$- 4500$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 5$ , então $x = 5$ é um mínimo local.

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 7$ , então $x = 7$ é um máximo local.

$x = 7$ é um máximo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ .

$x = 5$ é um mínimo local

$x = 7$ é um máximo local

$x = 5$ é um mínimo local

$x = 7$ é um máximo local

Etapa 11