Cálculo Exemplos

$[8 (4^{x})]$

Etapa 1

Escreva $[8 (4^{x})]$ como uma função.

$f (x) = [8 (4^{x})]$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

Etapa 4

Remova os parênteses.

$\int 8 (4^{x}) d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

Etapa 5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = 3 + 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 3 + 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Etapa 6.1.2

Diferencie.

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Etapa 6.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 6.1.4

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 7

Combine $2^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Etapa 9

A integral de $2^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$