Cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Etapa 1

Escreva $\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x$

Etapa 4

Divida $3 x^{2} + 5 x - 1$ por $x - 2$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$1$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 6 x$ .

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$

Etapa 4.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Etapa 4.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $11 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Etapa 4.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					+	$11 x$	-	$22$

Etapa 4.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $11 x - 22$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$

Etapa 4.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$21$

Etapa 4.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 3 x + 11 + \frac{21}{x - 2} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Etapa 10

Como $21$ é constante com relação a $x$ , mova $21$ para fora da integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 11

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 11.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$