Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Etapa 2

Divida $x^{3}$ por $x^{2} - 4$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 - 4 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Etapa 2.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

Etapa 2.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

Etapa 6

Deixe $u = x^{2} - 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x^{2} - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 6.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 6.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Etapa 13.2

Para escrever $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

Etapa 13.3

Combine $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

Etapa 13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 13.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.5.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 13.5.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

Etapa 13.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$